[CG] 4. Geometry Transformation

Computer Graphics 4. Geometry Transformation

숙명여자대학교 컴퓨터 그래픽스 수업 - 유석종 교수님

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# Object Modeling

- Surface Representation: 물체의 표면을 표현

  > Polygon, Mesh

  > Rectangular mesh: 네 점이 한 평면 위에 존재한다는 것을 보장하지 못함

  > Triangular mesh: 삼각형은 네 점이 한 평면 위에 존재한다는 것을 보장할 수 있음,

                            높은 정밀도, 삼각형 분할을 위한 두 배의 처리 시간

* 도형이 많을수록 부드럽게 표현 가능

Object Modeling

 

 

# Rendering

- 조명, 음영, 질감, 가시성 등과 같은 물리적 효과를 계산하여 객체 모델에서 실제 장면을 그림

  > wireframe rendering: 모델링 단계를 위해 빠름

  > solid rendering: 디자인 검토를 위해 느림

Rendering

 

 

# Vector Space

- Scalar: 크기만을 가지고 실수로 표현 / 방향이 없음

- Vector: 크기와 방향을 동시에 가지지만 origin이 없음

  > 연산: 역, 스칼라 곱셈, 벡터 덧셈

  > 객체 정점 정의 및 그래픽 렌더링 계산에 사용됨

    * 벡터는 조명에 의해서 surface rendering을 하는데에 중요. 면이 어느 방향을 향하고 있는지에 대해 표현

 

벡터의 연산

 

 

# Affine Space

- 동일한 크기 벡터는 origin의 부재로 동일한 것으로 간주됨

  > 한계점 크기와 방향만 같으면 모두 같은 벡터로 인식

- affine space

  > 점의 개념에 의해 추가된 확장된 벡터 공간

  > vector의 origin을 나타낼 수 있음

- affine operations

  > V = A + B : 벡터 사이의 덧셈

  > V' = 2V : 백터와 스칼라 사이의 곱셈

  > Q = V + P : 벡터 및 점은 새 점을 정의

     * V = Q = P

 

 

# Coordinate System

- 벡터는 주축(x, y, z)에 대해 단위 벡터(v1, v2, v3)로 나타내 짐

  > V = x*v1 + y*v2 + z*v3

단위 벡터와 주축

- 좌표계

  > origin과 basis vector로 이루어진 프레임 → 있으면 임의의 점 정의 가능

                                                         → C = (r, v1, v2, v3)

  > 점은 좌표계에 의해 표현됨

    → P = r + 4*V1 + 2*V2 + V3

  

 

# Homegeneous Coordinate System

- 동차 좌표계: 차원이 같음

- 점과 벡터를 나타내는 affine 공간을 위한 4D 좌표계

- 점은 점의 origin을 보존해야 함

  > P(4, 2, 1, 1) → 4차원의 동차 좌표계로 표현

  > P = 4*V1 + 2*V2 + V3 + 1*r → r: origin

- vector는 origin이 없음

  > V(4, 2, 1, 0)

  > 4*V1 + 2*V2 + V3 + 0*r

* 마지막 차원의 값을 가지고 점과 벡터를 구분할 수 있음

 

 

# Modeling Transformation

- 개체의 모델링 변환

  > Translation: 이동 변환

  > Rotation: 회전

  > Scaling: 크기 변환

- 객체를 변환하려면 객체 꼭짓점과 변환 matrix 사이의 곱셈에 의해 수행됨

 

 

# 2D Translation

- P(x, y): 정점 matrix

- T (Tx, Ty): 이동 변환 matrix

- P’ (x’, y’) = T (Tx, Ty) ∙ P (x, y)

- x' = x + Tx

- y' = y + Ty

* 이동: 새로운 좌표점을 구하는 것

2D Translation

 

 

# 3D Translation

- P (x, y, z) : 정점 matrix

- T (Tx , Ty , Tz) : 이동 변환 matrix

- P’ (x’, y’, z’) = T ∙ P : T의 이동 변환 후의 점

- x' = x + Tx , y' = y + Ty , z' = z + Tz

3D Translation

 

 

# 2D Rotation

* 원점 회전만 존재

- R: 회전 변환 matrix

- P': R ∙ P

- x: rcosθ, y=rsinθ

2D Rotation

 

 

# 3D Ratation

- x, y, z 축 회전

- θ: 회전 각

- right-hand system: OpenGL

- left-hand system: Unity, DirectX

# 3D Ratation

- Rz: Z-Rotation

- Z 좌표계에서는 변화가 없음

Z 좌표계에서는 변화가 없음

- x축 회전

- y축 회전

 

 

# Scaling

- Uniform vs. Non-uniform scaling

 

 

# Composite Transformation

- 복합 변환

Composite Transformation

(a): 원래 큐브의 위치

(b): 원점을 기준으로 회전 origin-based rotation

(c): 중심을 기준으로 회전 pivot point rotation

 

- 변환 순서(원리는 WCS에 기반 (World Coordinate System))

  > Translate(T1) → Rotate(R) → Translate(T2)

- Matrix 곱셈 in OpenGL (객체 기반한 MCS)

  * MCS: 개별 물체 당 주어진 좌표계 Modeling Coordinate System

  > P' = T2 ∙ R ∙ T1 ∙ P // 교환 법칙 성립 X

  > 복합 변환의 사전 컴퓨팅은 전체 처리 시간을 절약할 수 있음

  > P' = C∙P              // C = T2∙R∙T1

 

 

# Pivot Point Rotation

- 피벗 지점이 원점과 겹치도록 개체를 이동 T(-P)

- 회전축에서 물체를 회전: R

- 회전된 물체를 원래 위치인 T(P)로 다시 이동

- 행렬은 변환의 역순으로 곱함

Pivot Point Rotation

 

 

# Transformation Order

- matrix의 곱셈은 교환 법칙이 성립하지 않음

  > translate → rotation (Rz ∙ Tx) // left

  > rotate → translate (Tx ∙ Rz) // right

 Transformation Order

 

 

# Reflection

(a) X-reflection  (b) Y-reflection  (c) Origin reflection

 

 

# Composite Reflection

- 선 y=x에 대하여 반사 (WCS에 기반하여)

  > 원점에서 점을 45도 회전 (R)

  > 점의 Y축 반사 (Y)

  > 원점에서 점을 -45도 회전 (-R)

  > P' = R ∙ Y ∙ -P

Composite Reflection

 

 

# Modeling Coordinate System

- MCS

  > 모델링 단계에서 사용되는 객체별 좌표

  > 임의의 좌표 원점 및 단위를 가짐

  > 여러 개 있을 수 있음(물체 수만큼 존재) * 단위도 다를 수 있음

Modeling Coordinate System

 

 

# WCS, MCS, and VCS

- World Coordinate System

  > 여러 MCS를 하나로 통합

World Coordinate System & View Coordinate System

- View Coordinate System

  > 카메라에 정의된 좌표계

  > 시야 공간이 veiwport로 이전됨

 

 

# Matrix Multiplication

- 물체의 꼭짓점 좌표는 trans와 분리됨

  >matrix는 OpenGL을 따름

- 객체가 변환될 때, 정점 행렬에 변환 행렬을 곱하여 WCS 위치를 얻음

- P'wcs = Translate * Pmcs

Matrix Multiplication

- Rotation

  > MCS는 객체와 회전됨

- Scaling

  > MCS와 WCS unit 사이의 비율을 바꿈

  > x 축에서 2배로 확장 → WCS : MCS = 2 : 1

  > P'wcs(4, 2, 0) = S(2, 2, 1) * Pmcs(2, 2, 0)

* object의 정점 좌표는 분리되어 관리되다가 물체를 그리는 순간에 곰셈이 발생

ModelView Matrix

 

# ModelView Matrix

- Modeling Transformation

  > Translation, rotation, scaling of an object

- Viewing Transformation

  > Viewing 좌표계 시스템을 정의하기 위해

  > 카메라의 위치와 방향에 의해서 정의됨

- ModelView 시스템 matrix는 두 가지(modeling&viewing) 변환들을 관리함

ModelView Matrix

 

 

# Matrix Stack

- 변환이 발생할 때, 변환 matrix는 System Matrix Stack에 push됨

glMatrixMode(GLenum mode)

  > GL_MODELVIEW

  > GL_PROJECTION

  > GL_TEXTURE

Matrix Stack

- matrix 스택은 연속적인 변환 matrix들을 관리함

  > matrix stack의 top element는 CTM을 의미함

glPushMatrix() # CTM의 복사본을 CTM을 저장하기 위해 matrix에 저장
glPopMatrix() # 최근 CTM을 복구하기위해 top CTM을 pop함

example(1)

> (b) 위치로 돌아가는 방법: 위치를 알 수 있는 방법이 없어 돌아갈 수 없음

→ 그래서 stack을 사용하는 것

example(2)

 

 

# Object-based MCS

- OpenGL

glMatrixMode(GL_MODELVIEW) 
glLoadIdentity( )
glRotatef(45, 0.0, 0.0, 1.0)
glTranslatef(10.0, 0.0, 0.0) 
glVertex3f(x, y, z)

Object-based MCS

- OpenGL 코드 순서대로 해석하는 것

  > MCS를 객체와 회전

  > 최근 MCS위에서 MCS를 이동 변환

  > 최종 MCS의 origin위에 객체를 그림

 

 

# Origin-based WCS

- OpenGL

glMatrixMode(GL_MODELVIEW) 
glLoadIdentity( )
glRotatef(45, 0.0, 0.0, 1.0)
glTranslatef(10.0, 0.0, 0.0) 
glVertex3f(x, y, z)

Origin-based WCS

- OpenGL 코드의 역순으로 해석하는 것

  > MCS를 WCS origin으로부터 이동 변환

  > WCS origin위에서 MCS 회전

  > 마지막 MCS의 orgin에 객체를 그림

 

 

# CTM

- 현재 변환 matrix

  > 변환이 발생하면, CTM. 즉, 시스템 matrix stack의 top element를 업데이트함

  > 객체의 vertex matrix는 그려지기 전에 CTM에 의해 곱해짐

- CTM Initializtion

glLoadIdentity()

CTM Initializtion

- CTM accumulation

  > 오른쪽에서 CTM으로 변환이 누적됨

  > CTM = CTM · M

  > ex) glTraslatef(1, 2, 0)

glMatrixMode(GL_MODELVIEW)
glLoadIdentity() # CTM initialized
glScalef(sx, sy, sz)
glRotatef(theta, vx, vy, vz)
glBegin(GL_POINTS)
glVertex3f(x, y, z)
glEnd()

 

 

# Hierarchical Modeling

void drawArm( ) 
	glMatrixMode(GL_MODELVIEW) 
	glLoadIdentity( ) # CTM 초기화
	Draw_Body( ) # 몸체
	glPushMatrix( ) # CTM 저장
		GoToLeftShoulderCoordinates( ) # 어깨 위치 이동
		Draw_UpperArm( ) # 위팔 그리기
		glPushMatrix( ) # CTM 저장(어깨)
			GoToElbowCoordinates( ) # 팔꿈치 위치 이동
			Draw_LowerArm( ) # 아래팔 그리기
			glPushMatrix( ) # CTM 저장(팔꿈치)
				GoToWristCoordinates( ) # 손목 위치
				Draw_Hand( ) # 손 그리기
			glPopMatrix( ) #팔꿈치 위치 복원
		glPopMatrix( ) #어깨 위치 복원
		# 오른쪽 팔을 그리기 위한 함수… 
	glPopMatrix( ) # 몸체 위치 복원

Hierarchical Modeling

 

 

# Solar System

Scene tree

from OpenGL.GL import *
from OpenGL.GLUT import *
from OpenGL.GLU import *

# 계층적 구조
class SolarSystem:
	def __init__(self): # 초기화
		self.angle1 = 0.0
		self.angle2 = 0.0
	
    def draw(self):
		glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT) # transformation 초기화
		glMatrixMode(GL_MODELVIEW)
		glLoadIdentity()
		glColor3f(1.0, 0.3, 0.3)
		glutWireSphere(0.2, 20, 16) #sun
		glPushMatrix()
		glRotatef(self.angle1, 0.0, 1.0, 0.0) # 지구의 공전
		glTranslatef(0.7, 0.0, 0.0) # 지구와 태양의 거리
		glRotatef(self.angle2, 0.0, 1.0, 0.0) # 지구의 자전
		glColor3f(0.5, 0.6, 0.7)
		glutWireSphere(0.1, 10, 8) # Earth
		glPushMatrix() # 지구의 위치 저장
		glRotatef(self.angle2, 0.0, 1.0, 0.0) # 달의 공전
		glTranslatef(0.2, 0.0, 0.0) # 지구와 달의 거리
		glColor3f(0.9, 0.8, 0.2)
		glutWireSphere(0.04, 10, 8) # Moon
		glPopMatrix() # 지구의 위치로 돌아감
		glPopMatrix() # 태양의 위치로 돌아감
		glutSwapBuffers()

	def MyKeyboard(self, key, x, y):
		if key==b'd':
			self.angle1 += 5 # 공전 각도 증가
			if self.angle1 >= 360.0: self.angle1 = 0.0
				glutPostRedisplay()
		elif key==b't':
			self.angle2 -= 2 # 자전 각도 감소
			if self.angle2 <= 0.0: self.angle2 = 360.0
			glutPostRedisplay()
	
    def main(self):
		glutInit()
		glutInitDisplayMode(GLUT_DOUBLE | GLUT_RGB | GLUT_DEPTH) # 애니메이션
		glutInitWindowSize(500, 500)
		glutInitWindowPosition(0,0)
		glutCreateWindow("OpenGL Solar System")
		glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 1.0)
		glMatrixMode(GL_PROJECTION)
		glLoadIdentity()
		glOrtho(-1.0, 1.0, -1.0, 1.0, -1.0, 1.0)
		glutDisplayFunc(self.draw)
		glutKeyboardFunc(self.MyKeyboard)
		glutMainLoop()
		return 0
        
s = SolarSystem()
s.main()

Solar System

 

 

# Structure-Deforming Transformation

- 구조가 변경되지 않는 변환

  > scaling, translate, rotate

- 구조가 변경되는 변환

  > tapering: (a) → (b)

z축을 따라 객체의 크기가 조정됨

  > bending: (a) → (c)

축을 따라, 물체가 구부러짐

  > twisting: (d) → (e)

z축을 따라, 회전 각도가 증가

 

 

# Transformation Classes

- Rigid Body Transformation (강세 변환)

  > 물체의 모양이 보존됨

  > 이동 변환, 회전

- Similarity Transformation

  > polygon 간의 각도 및 vertex 간의 거리를 유지

  > 강세 변환 + uniform scaling인 반사(reflection)

- Affine Transformation

  > 선, 다각형, 곡면 평행선과 같은 객체 모양을 유지

  > similarity transformation + non-uniform scaling, shearing(밀림)

- Perspective Transformation (원근 변환)

  > 평행선이 서로 만남

  > 직선을 유지

- Linear Transformation

  > x, y, z의 선형 조합으로 x' = ax + by+ cz로 표시됨

  > 직선을 유지함

  > affine + perspective trans

- Non-linear transformation (비선형 변환)

  > x' = ayx + by^2 + cz/x

  > 상수간 곱셈, 1차 함수가 아님

  > 구조 변환 trans이므로 직선 유지 보장이 없음

 

 

# Viewing Transformation

- Viewing Coordinate System (VCS)

  > 카메라 view volume 정의 설정 변환

  > 카메라 위치 및 방향에 따라 정의됨

  > 카메라가 보는 것은 변환의 역변환임

  > modelview 변환 matrix가 관리

     model transformation matrix + view transformation matrix

 

 

# Camera rotation

- Tilting: X축 회전 # 위/아래

- Panning: Y축 회전 # 좌/우

- Rolling: Z축 회전 # 시계 방향 회전/반시계 방향 회전

- Dolling: 카메라 Zoom-in/out

Camera rotation

 

 

# Flight Angles

- right-hand system

- 평면의 방향은 세 각도로 명시됨

- Roll: Z축 회전 각도 (second)

- Pitch: X축 회전 각도 (third)

- Yaw: Y축 회전 각도 (last)

Flight Angles

 

 

# GL VCS

glutLookAt (eyex, eyey, eyez, # Camera position
atx, aty, atz, # Camera focus
upx, upy, upz) # Camera orientation 
glutLookAt (0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1,0, 0.0, 1.0, 0.0) # default

GL VCS

 

 

# Viewing and Modeling Transformtion

glMatrixMode(GL_MODELVIEW)
glLoadIdentity( ) # I
gluLookAt(0.0, 10.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0) # V
# view transformation matrix 생성 (veiew point, target, up vector)
glTranslatef (5.0, 5.0, 0.0) # T1
glTranslatef (4.0, 2.0, 0.0) # T2
glRotatef (45, 0.0, 0.0, 1.0) # R
glutWireCube(1.0) # PMC

- Pvcs = V ˙ Pwcs

         = V ˙ T1 ˙ T2 ˙ R ˙ Pmcs

Transformation Classes

 

 

# Camera Coordinate System

gluLookAt(eyex, eyey, eyez, atx, aty, atz, upx, upy, upz)

- 축: u, v, n

- n = eye-at

- u = up * n # crdss product 외적

- v = n * u

- origin: eye(looking in the direction -n)

Camera Coordinate System

 

 

# Cross Product

- 외적

- a * b = |a| * |b| * sinθ

Cross Product